1. Limites et continuité
Rappels sur les limites, puis la continuité : le théorème des valeurs intermédiaires et la fonction réciproque.
∫Résumé du cours
Rappels sur les limites
- Formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0. On les lève en factorisant par le terme dominant, en multipliant par l’expression conjuguée ou avec un taux d’accroissement.
- Comparaison : si u(x) ≤ f(x) et lim u = +∞, alors lim f = +∞. Encadrement (gendarmes) : si u ≤ f ≤ v et lim u = lim v = ℓ, alors lim f = ℓ.
- Limite d’une composée : si limx→a u(x) = b et limX→b g(X) = ℓ, alors limx→a g(u(x)) = ℓ.
Continuité
f est continue en a si limx→a f(x) = f(a). Les polynômes, fonctions rationnelles, √, sin et cos sont continus sur leur domaine. Sommes, produits, quotients et composées de fonctions continues sont continus.
Image d’un intervalle : l’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Si f est continue et strictement croissante sur [a ; b], f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)].
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) < 0, l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a ; b[. Si de plus f est strictement monotone, cette solution est unique.
Dichotomie : on coupe l’intervalle en deux et on garde la moitié où f change de signe, pour encadrer la solution α.
Fonction réciproque
Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, elle réalise une bijection de I vers J = f(I). Sa réciproque f⁻¹ est continue, de même monotonie, et sa courbe est symétrique de celle de f par rapport à la droite y = x.
Racine n-ième : x ↦ ⁿ√x est la réciproque de x ↦ xⁿ sur [0 ; +∞[. On a ⁿ√(xy) = ⁿ√x · ⁿ√y et x1/n = ⁿ√x.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Calculer limx→+∞ (√(x² + x) − x).
Voir la correction
√(x² + x) − x = x / (√(x² + x) + x) = 1 / (√(1 + 1/x) + 1) → 1/2.
Exemple 2
Montrer que x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution α dans ]0 ; 1[.
Voir la correction
f(0) = −1 < 0 et f(1) = 1 > 0. D’après le TVI, il existe une unique α ∈ ]0 ; 1[ telle que f(α) = 0.
f(0,5) = −0,375 < 0, donc α ∈ ]0,5 ; 1[ (dichotomie).
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
limx→+∞ (2x² − x)/(x² + 3) = ?
Réponse
b) 2 — On garde les termes dominants : 2x²/x² = 2. -
Si f est continue sur [a ; b] et f(a)f(b) < 0, alors…
Réponse
a) f s’annule au moins une fois sur ]a ; b[ — C’est le TVI ; l’unicité demande la stricte monotonie. -
La courbe de f⁻¹ est symétrique de celle de f par rapport à…
Réponse
c) la droite y = x — On échange les rôles de x et y. -
³√8 × ³√27 = ?
Réponse
a) 6 — 2 × 3 = 6.
تذكير بالنهايات، ثم الاتصال: مبرهنة القيم الوسيطية والدالة العكسية.
∫ملخص الدرس
تذكير بالنهايات
- الأشكال غير المحددة: ∞ − ∞، 0 × ∞، ∞/∞، 0/0. نزيلها بالتعميل بالحد الأكبر، أو بالضرب في المرافق، أو باستعمال معدل التغير.
- المقارنة: إذا كان u(x) ≤ f(x) و lim u = +∞ فإن lim f = +∞. التأطير (الدركيان): إذا كان u ≤ f ≤ v و lim u = lim v = ℓ فإن lim f = ℓ.
- نهاية مركبة: إذا كان limx→a u(x) = b و limX→b g(X) = ℓ فإن limx→a g(u(x)) = ℓ.
الاتصال
تكون f متصلة في a إذا كان limx→a f(x) = f(a). الحدوديات والدوال الجذرية و √ و sin و cos متصلة على مجموعة تعريفها. ومجموع وجداء وخارج ومركب دوال متصلة دالة متصلة.
صورة مجال: صورة مجال بدالة متصلة مجال. إذا كانت f متصلة وتزايدية قطعًا على [a ; b] فإن f([a ; b]) = [f(a) ; f(b)].
مبرهنة القيم الوسيطية (TVI)
إذا كانت f متصلة على [a ; b] و f(a) × f(b) < 0، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل على الأقل حلًا في ]a ; b[. وإذا كانت f زيادة على ذلك رتيبة قطعًا فإن هذا الحل وحيد.
طريقة التفرع الثنائي: نقسم المجال إلى نصفين ونحتفظ بالنصف الذي تتغير فيه إشارة f، لتأطير الحل α.
الدالة العكسية
إذا كانت f متصلة ورتيبة قطعًا على مجال I، فإنها تقابل من I نحو J = f(I). ودالتها العكسية f⁻¹ متصلة ولها نفس منحى التغير، ومنحناها مماثل لمنحنى f بالنسبة للمستقيم y = x.
الجذر من الرتبة n: x ↦ ⁿ√x هي الدالة العكسية لـ x ↦ xⁿ على [0 ; +∞[. ولدينا ⁿ√(xy) = ⁿ√x · ⁿ√y و x1/n = ⁿ√x.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
احسب limx→+∞ (√(x² + x) − x).
عرض الحل
√(x² + x) − x = x / (√(x² + x) + x) = 1 / (√(1 + 1/x) + 1) ← 1/2.
مثال 2
بيّن أن المعادلة x³ + x − 1 = 0 تقبل حلًا وحيدًا α في ]0 ; 1[.
عرض الحل
f(0) = −1 < 0 و f(1) = 1 > 0. حسب مبرهنة القيم الوسيطية، يوجد α وحيد في ]0 ; 1[ بحيث f(α) = 0.
f(0,5) = −0,375 < 0، إذن α ∈ ]0,5 ; 1[ (التفرع الثنائي).
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
limx→+∞ (2x² − x)/(x² + 3) = ؟
الجواب
ب) 2 — نحتفظ بالحدود الكبرى: 2x²/x² = 2. -
إذا كانت f متصلة على [a ; b] و f(a)f(b) < 0 فإن…
الجواب
أ) f تنعدم على الأقل مرة في ]a ; b[ — مبرهنة القيم الوسيطية؛ والوحدانية تتطلب الرتابة القطعية. -
منحنى f⁻¹ مماثل لمنحنى f بالنسبة…
الجواب
ج) للمستقيم y = x — نتبادل دوري x و y. -
³√8 × ³√27 = ؟
الجواب
أ) 6 — 2 × 3 = 6.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.