2. Dérivabilité

2BAC Sciences expérimentales et technologiques · Mathématiques · Chapitre 2الاشتقاق

≈ 6 minSemestre 12 exemples4 questions

Nombre dérivé, tangente, règles de calcul et dérivée de la fonction réciproque.

∫Résumé du cours

Nombre dérivé

f est dérivable en a si lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h existe et est finie ; on la note f'(a). La tangente en a a pour équation y = f'(a)(x − a) + f(a).

Si la limite vaut ±∞, f n’est pas dérivable en a mais la courbe admet une tangente verticale. Si les limites à gauche et à droite sont différentes, on a un point anguleux (deux demi-tangentes).

Dérivées usuelles

(xⁿ)’ = n xⁿ⁻¹ ; (1/x)’ = −1/x² ; (√x)’ = 1/(2√x) ; (sin x)’ = cos x ; (cos x)’ = −sin x ; (tan x)’ = 1 + tan² x.
(u + v)’ = u’ + v’ ; (uv)’ = u’v + uv’ ; (u/v)’ = (u’v − uv’)/v² ; (uⁿ)’ = n u’ uⁿ⁻¹ ; (√u)’ = u’/(2√u).
Composée : (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)).

Dérivée de la réciproque

Si f est dérivable et strictement monotone sur I, avec f'(f⁻¹(y)) ≠ 0, alors (f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y)).

Exemple : (ⁿ√x)’ = 1 / (n · ⁿ√(xⁿ⁻¹)) pour x > 0.

Dérivée et monotonie

Sur un intervalle : f’ ≥ 0 ⇒ f croissante ; f’ ≤ 0 ⇒ f décroissante. Si f’ s’annule en changeant de signe en a, f admet un extremum en a.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Dériver f(x) = (2x − 1)⁴ et g(x) = √(x² + 3).

Voir la correction

f'(x) = 4 × 2 × (2x − 1)³ = 8(2x − 1)³.
g'(x) = 2x / (2√(x² + 3)) = x / √(x² + 3).

Exemple 2

f(x) = x³ + x est une bijection de ℝ vers ℝ. Calculer (f⁻¹)'(2).

Voir la correction

On cherche f⁻¹(2) : x³ + x = 2 donne x = 1. f'(x) = 3x² + 1 donc f'(1) = 4.
(f⁻¹)'(2) = 1/f'(1) = 1/4.

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(sin(3x))’ = ?

Réponse

b) 3cos(3x) — Composée : 3 × cos(3x).
La tangente en a a pour équation…

Réponse

b) y = f'(a)(x − a) + f(a) — Pente f'(a), passe par (a ; f(a)).
La fonction √x en 0 :

Réponse

b) a une demi-tangente verticale — (√h)/h = 1/√h → +∞.
Si f(1) = 2 et f'(1) = 5, alors (f⁻¹)'(2) = ?

Réponse

b) 1/5 — (f⁻¹)'(2) = 1/f'(1).

العدد المشتق، المماس، قواعد الحساب ومشتقة الدالة العكسية.

∫ملخص الدرس

العدد المشتق

تكون f قابلة للاشتقاق في a إذا كانت lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h موجودة ومنتهية؛ ونرمز لها بـ f'(a). معادلة المماس في a هي y = f'(a)(x − a) + f(a).

إذا كانت النهاية ±∞ فإن f غير قابلة للاشتقاق في a لكن المنحنى يقبل مماسًا رأسيًا. وإذا كانت النهايتان على اليسار وعلى اليمين مختلفتين فلدينا نقطة مزواة (نصفا مماسين).

المشتقات الاعتيادية

(xⁿ)’ = n xⁿ⁻¹ ؛ (1/x)’ = −1/x² ؛ (√x)’ = 1/(2√x) ؛ (sin x)’ = cos x ؛ (cos x)’ = −sin x ؛ (tan x)’ = 1 + tan² x.
(u + v)’ = u’ + v’ ؛ (uv)’ = u’v + uv’ ؛ (u/v)’ = (u’v − uv’)/v² ؛ (uⁿ)’ = n u’ uⁿ⁻¹ ؛ (√u)’ = u’/(2√u).
المركب: (g ∘ u)'(x) = u'(x) × g'(u(x)).

مشتقة الدالة العكسية

إذا كانت f قابلة للاشتقاق ورتيبة قطعًا على I، مع f'(f⁻¹(y)) ≠ 0، فإن (f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y)).

مثال: (ⁿ√x)’ = 1 / (n · ⁿ√(xⁿ⁻¹)) من أجل x > 0.

المشتقة والرتابة

على مجال: f’ ≥ 0 ⇒ f تزايدية ؛ f’ ≤ 0 ⇒ f تناقصية. إذا انعدمت f’ في a مع تغيير الإشارة فإن f تقبل قيمة قصوى في a.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

اشتق f(x) = (2x − 1)⁴ و g(x) = √(x² + 3).

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