3. Étude des fonctions

2BAC Sciences expérimentales et technologiques · Mathématiques · Chapitre 3دراسة الدوال

≈ 7 minSemestre 12 exemples4 questions

La méthode complète : domaine, limites, branches infinies, variations, convexité et tracé.

∫Résumé du cours

Plan d’étude

Domaine de définition D_f ; parité ou périodicité éventuelle.
Limites aux bornes de D_f.
Dérivée, signe de f’, tableau de variations.
Branches infinies, convexité, points d’inflexion.
Points particuliers (intersections avec les axes), tracé de la courbe.

Branches infinies

lim_x→a f(x) = ±∞ : asymptote verticale x = a.
lim_x→±∞ f(x) = b : asymptote horizontale y = b.
lim_x→±∞ f(x) = ±∞ : on calcule lim f(x)/x.
- = 0 : branche parabolique de direction (Ox) ;
- = ±∞ : branche parabolique de direction (Oy) ;
- = a ≠ 0 : on calcule lim (f(x) − ax). Si elle vaut b, y = ax + b est asymptote oblique ; si elle vaut ±∞, branche parabolique de direction y = ax.

Convexité

Si f » ≥ 0 sur I, la courbe est convexe (au-dessus de ses tangentes) ; si f » ≤ 0, elle est concave. Un point d’inflexion est un point où f » s’annule en changeant de signe : la courbe traverse sa tangente.

Symétries

La droite x = a est axe de symétrie si f(2a − x) = f(x). Le point Ω(a ; b) est centre de symétrie si f(2a − x) + f(x) = 2b.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Étudier les branches infinies de f(x) = (x² + 1)/(x − 1).

Voir la correction

En 1 : lim f = ±∞, donc asymptote verticale x = 1.
En ±∞ : f(x)/x → 1, puis f(x) − x = (x + 1)/(x − 1) → 1. Donc y = x + 1 est asymptote oblique.

Exemple 2

Étudier la convexité de f(x) = x³ − 3x.

Voir la correction

f'(x) = 3x² − 3, f »(x) = 6x.
f » < 0 sur ]−∞ ; 0[ (concave), f » > 0 sur ]0 ; +∞[ (convexe).
f » s’annule en changeant de signe en 0 : O(0 ; 0) est point d’inflexion.

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

Si lim_x→+∞ f(x)/x = 0 avec lim f = +∞, la courbe admet…

Réponse

b) une branche parabolique de direction (Ox) — La courbe « s’aplatit » par rapport à x.
Si f » > 0 sur I, la courbe est…

Réponse

b) convexe — Elle est au-dessus de ses tangentes.
Ω(a ; b) est centre de symétrie si…

Réponse

a) f(2a − x) + f(x) = 2b — Le milieu de M(x) et M'(2a − x) est Ω.
Asymptote verticale x = 2 signifie :

Réponse

b) lim_x→2 f(x) = ±∞ — La courbe « monte » ou « descend » sans fin près de x = 2.

المنهجية الكاملة: مجموعة التعريف، النهايات، الفروع اللانهائية، التغيرات، التقعر والرسم.

∫ملخص الدرس

خطة الدراسة

مجموعة التعريف D_f؛ والزوجية أو الدورية إن وجدت.
النهايات عند محدات D_f.
المشتقة، إشارة f’، جدول التغيرات.
الفروع اللانهائية، التقعر، نقط الانعطاف.
نقط خاصة (التقاطع مع المحورين)، رسم المنحنى.

الفروع اللانهائية

lim_x→a f(x) = ±∞: مقارب رأسي x = a.
lim_x→±∞ f(x) = b: مقارب أفقي y = b.
lim_x→±∞ f(x) = ±∞: نحسب lim f(x)/x.
- = 0: فرع شلجمي اتجاهه (Ox)؛
- = ±∞: فرع شلجمي اتجاهه (Oy)؛
- = a ≠ 0: نحسب lim (f(x) − ax). إذا كانت b، فإن y = ax + b مقارب مائل؛ وإذا كانت ±∞، ففرع شلجمي اتجاهه y = ax.

التقعر

إذا كان f » ≥ 0 على I فالمنحنى محدب (فوق مماساته)؛ وإذا كان f » ≤ 0 فهو مقعر. نقطة الانعطاف نقطة تنعدم فيها f » مع تغيير الإشارة: يخترق المنحنى مماسه.

التماثلات

المستقيم x = a محور تماثل إذا كان f(2a − x) = f(x). والنقطة Ω(a ; b) مركز تماثل إذا كان f(2a − x) + f(x) = 2b.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

ادرس الفروع اللانهائية لـ f(x) = (x² + 1)/(x − 1).

عرض الحل

في 1: lim f = ±∞، إذن مقارب رأسي x = 1.
في ±∞: f(x)/x ← 1، ثم f(x) − x = (x + 1)/(x − 1) ← 1. إذن y = x + 1 مقارب مائل.

مثال 2

ادرس تقعر f(x) = x³ − 3x.