6. Fonctions logarithmes

∫Résumé du cours

Définition

ln est la primitive de x ↦ 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en 1. Donc ln 1 = 0, (ln x)’ = 1/x > 0 : ln est strictement croissante. Le nombre e ≈ 2,718 vérifie ln e = 1.

Propriétés (a, b > 0, r ∈ ℚ)

ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(1/a) = −ln a ; ln(aʳ) = r ln a ; ln √a = (1/2) ln a.

ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a < b ; ln x > 0 ⇔ x > 1.

Limites

• lim_x→+∞ ln x = +∞ ; lim_x→0⁺ ln x = −∞ (asymptote verticale x = 0).
• Croissances comparées : lim_x→+∞ (ln x)/x = 0 ; lim_x→0⁺ x ln x = 0 ; plus généralement (ln x)/xⁿ → 0 et xⁿ ln x → 0.
• lim_x→1 (ln x)/(x − 1) = 1 ; lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1.
• La courbe admet une branche parabolique de direction (Ox) en +∞.

Dérivée et primitive

(ln u)’ = u’/u (u > 0) ; (ln|u|)’ = u’/u. Une primitive de u’/u est ln|u|.

Logarithme de base a

log_a(x) = ln x / ln a (a > 0, a ≠ 1). Le logarithme décimal log = log₁₀ vérifie log 10ⁿ = n.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. ln(e³) = ?

   a) e³b) 3c) 3e
   Réponse

   b) 3 — ln(eʳ) = r ln e = r.

2. ln 8 = ?

   a) 3 ln 2b) 8 ln 1c) 2 ln 3
   Réponse

   a) 3 ln 2 — 8 = 2³.

3. lim_x→0⁺ x ln x = ?

   a) −∞b) 0c) 1
   Réponse

   b) 0 — Croissance comparée : x l’emporte.

4. Une primitive de 2x/(x² + 1) est…

   a) ln(x² + 1)b) 1/(x² + 1)c) 2 ln x
   Réponse

   a) ln(x² + 1) — Forme u’/u.

∫ملخص الدرس

تعريف

ln هي الدالة الأصلية لـ x ↦ 1/x على ]0 ; +∞[ التي تنعدم في 1. إذن ln 1 = 0، و (ln x)’ = 1/x > 0: ln تزايدية قطعًا. والعدد e ≈ 2,718 يحقق ln e = 1.

الخاصيات (a, b > 0، r ∈ ℚ)

ln(ab) = ln a + ln b ؛ ln(a/b) = ln a − ln b ؛ ln(1/a) = −ln a ؛ ln(aʳ) = r ln a ؛ ln √a = (1/2) ln a.

ln a = ln b ⇔ a = b ؛ ln a < ln b ⇔ a < b ؛ ln x > 0 ⇔ x > 1.

النهايات

• lim_x→+∞ ln x = +∞ ؛ lim_x→0⁺ ln x = −∞ (مقارب رأسي x = 0).
• التزايد المقارن: lim_x→+∞ (ln x)/x = 0 ؛ lim_x→0⁺ x ln x = 0 ؛ وعمومًا (ln x)/xⁿ ← 0 و xⁿ ln x ← 0.
• lim_x→1 (ln x)/(x − 1) = 1 ؛ lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1.
• يقبل المنحنى فرعًا شلجميًا اتجاهه (Ox) عند +∞.

المشتقة والدالة الأصلية

(ln u)’ = u’/u (u > 0) ؛ (ln|u|)’ = u’/u. دالة أصلية لـ u’/u هي ln|u|.

اللوغاريتم للأساس a

log_a(x) = ln x / ln a (a > 0، a ≠ 1). اللوغاريتم العشري log = log₁₀ يحقق log 10ⁿ = n.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. ln(e³) = ؟

   أ) e³ب) 3ج) 3e
   الجواب

   ب) 3 — ln(eʳ) = r ln e = r.

2. ln 8 = ؟

   أ) 3 ln 2ب) 8 ln 1ج) 2 ln 3
   الجواب

   أ) 3 ln 2 — 8 = 2³.

3. lim_x→0⁺ x ln x = ؟

   أ) −∞ب) 0ج) 1
   الجواب

   ب) 0 — تزايد مقارن: x هو الغالب.

4. دالة أصلية لـ 2x/(x² + 1) هي…

   أ) ln(x² + 1)ب) 1/(x² + 1)ج) 2 ln x
   الجواب

   أ) ln(x² + 1) — الشكل u’/u.