10. Équations différentielles
Résoudre y’ = ay + b et y » + ay’ + by = 0, très utilisées en physique (RC, RL, oscillateurs).
∫Résumé du cours
y’ = ay + b (a ≠ 0)
Les solutions sont les fonctions y(x) = k eax − b/a (k ∈ ℝ). Pour b = 0 : y = k eax. Une condition initiale y(x₀) = y₀ fixe k.
y » + ay’ + by = 0
On écrit l’équation caractéristique r² + ar + b = 0, de discriminant Δ.
- Δ > 0, racines r₁ et r₂ : y = α er₁x + β er₂x.
- Δ = 0, racine double r : y = (αx + β) erx.
- Δ < 0, racines p ± iq : y = epx(α cos qx + β sin qx).
Cas fréquent en physique : y » + ω² y = 0 a pour solutions y = α cos ωx + β sin ωx = A cos(ωx + φ).
Deux conditions (par exemple y(0) et y'(0)) déterminent α et β.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre y’ = −2y + 6 avec y(0) = 1.
Voir la correction
y(0) = k + 3 = 1, donc k = −2 : y(x) = 3 − 2e−2x.
Exemple 2
Résoudre y » − 3y’ + 2y = 0.
Voir la correction
y(x) = α eˣ + β e2x (α, β réels).
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
Les solutions de y’ = 5y sont…
Réponse
a) k e5x — y = k eax. -
y » + 4y = 0 a pour solutions…
Réponse
b) α cos 2x + β sin 2x — r² + 4 = 0 donne r = ±2i. -
Si r est racine double, y = …
Réponse
a) (αx + β)erx — Cas Δ = 0. -
Pour y’ = ay + b, la solution constante vaut…
Réponse
b) −b/a — y’ = 0 ⇒ ay + b = 0.
حل y’ = ay + b و y » + ay’ + by = 0، المستعملتين كثيرًا في الفيزياء (RC، RL، المتذبذبات).
∫ملخص الدرس
y’ = ay + b (a ≠ 0)
الحلول هي الدوال y(x) = k eax − b/a (k ∈ ℝ). من أجل b = 0: y = k eax. والشرط البدئي y(x₀) = y₀ يحدد k.
y » + ay’ + by = 0
نكتب المعادلة المميزة r² + ar + b = 0 ذات المميز Δ.
- Δ > 0، جذران r₁ و r₂: y = α er₁x + β er₂x.
- Δ = 0، جذر مزدوج r: y = (αx + β) erx.
- Δ < 0، جذران p ± iq: y = epx(α cos qx + β sin qx).
حالة متكررة في الفيزياء: y » + ω² y = 0 حلولها y = α cos ωx + β sin ωx = A cos(ωx + φ).
شرطان (مثلًا y(0) و y'(0)) يحددان α و β.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل y’ = −2y + 6 مع y(0) = 1.
عرض الحل
y(0) = k + 3 = 1، إذن k = −2: y(x) = 3 − 2e−2x.
مثال 2
حل y » − 3y’ + 2y = 0.
عرض الحل
y(x) = α eˣ + β e2x (α و β حقيقيان).
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
حلول y’ = 5y هي…
الجواب
أ) k e5x — y = k eax. -
حلول y » + 4y = 0 هي…
الجواب
ب) α cos 2x + β sin 2x — r² + 4 = 0 يعطي r = ±2i. -
إذا كان r جذرًا مزدوجًا فإن y = …
الجواب
أ) (αx + β)erx — حالة Δ = 0. -
بالنسبة لـ y’ = ay + b، الحل الثابت يساوي…
الجواب
ب) −b/a — y’ = 0 ⇒ ay + b = 0.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.