14. Transformations du plan

∑Résumé du cours

Définitions

• Translation de vecteur u : M′ = t(M) ⇔ MM′ = u.
• Symétrie centrale de centre Ω : Ω est le milieu de [MM′].
• Symétrie axiale d’axe (Δ) : (Δ) est la médiatrice de [MM′] (si M ∉ (Δ)).
• Homothétie de centre Ω et de rapport k ≠ 0 : ΩM′ = k·ΩM. (La symétrie centrale est l’homothétie de rapport −1.)

Propriétés communes

Ces transformations conservent l’alignement, le milieu, le parallélisme, les angles et le coefficient de colinéarité. L’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle (translation, symétrie centrale, homothétie).

Distances

• Translations et symétries conservent les distances (et les aires).
• Une homothétie de rapport k multiplie les distances par |k| et les aires par k².
• Pour une homothétie : M′N′ = k·MN (vecteurs).

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. Une homothétie de rapport −1 est…

   a) une translationb) une symétrie centralec) une symétrie axiale
   Réponse

   b) une symétrie centrale — ΩM′ = −ΩM.

2. Une homothétie de rapport 2 multiplie les longueurs par…

   a) 2b) 4c) 1/2
   Réponse

   a) 2 — |k| = 2.

3. La translation conserve…

   a) les distancesb) uniquement l’alignementc) rien
   Réponse

   a) les distances — C’est une isométrie.

∑ملخص الدرس

تعاريف

• الإزاحة ذات المتجهة u: M′ = t(M) ⇔ MM′ = u.
• التماثل المركزي الذي مركزه Ω: Ω منتصف [MM′].
• التماثل المحوري الذي محوره (Δ): (Δ) واسط [MM′] (إذا كانت M ∉ (Δ)).
• التحاكي الذي مركزه Ω ونسبته k ≠ 0: ΩM′ = k·ΩM. (التماثل المركزي هو التحاكي ذو النسبة −1.)

خاصيات مشتركة

تحافظ هذه التحويلات على الاستقامية والمنتصف والتوازي والزوايا ومعامل الاستقامية. صورة مستقيم مستقيم مواز له (الإزاحة، التماثل المركزي، التحاكي).

المسافات

• الإزاحات والتماثلات تحافظ على المسافات (وعلى المساحات).
• التحاكي ذو النسبة k يضرب المسافات في |k| والمساحات في k².
• بالنسبة للتحاكي: M′N′ = k·MN (متجهيًا).

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. التحاكي ذو النسبة −1 هو…

   أ) إزاحةب) تماثل مركزيج) تماثل محوري
   الجواب

   ب) تماثل مركزي — ΩM′ = −ΩM.

2. التحاكي ذو النسبة 2 يضرب الأطوال في…

   أ) 2ب) 4ج) 1/2
   الجواب

   أ) 2 — |k| = 2.

3. الإزاحة تحافظ على…

   أ) المسافاتب) الاستقامية فقطج) لا شيء
   الجواب

   أ) المسافات — إنها تقايس.