15. Produit scalaire (étude géométrique)
Définitions du produit scalaire, orthogonalité, théorème d’Al-Kashi et de la médiane.
∑Résumé du cours
Définitions
- Avec un angle : u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
- Avec une projection : si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors AB · AC = AB · AH (= AB × AH si même sens, −AB × AH sinon).
- u · u = ‖u‖².
Propriétés
u · v = v · u ; u · (v + w) = u · v + u · w ; (k·u) · v = k (u · v).
Orthogonalité : u ⊥ v ⇔ u · v = 0.
Relations métriques dans un triangle ABC
- Al-Kashi : BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos Â.
- Théorème de la médiane (I milieu de [BC]) : AB² + AC² = 2 AI² + BC²/2.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Dans ABC : AB = 4, AC = 3, Â = 60°. Calculer AB · AC puis BC.
Voir la correction
BC² = 16 + 9 − 2 × 6 = 13, donc BC = √13.
Exemple 2
ABCD est un carré de côté a. Calculer AB · AC.
Voir la correction
Exemple 3
Dans ABC : AB = 5, AC = 7, BC = 6 et I milieu de [BC]. Calculer AI.
Voir la correction
AI = 2√7.
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Si u · v = 0 (vecteurs non nuls), alors…
Réponse
b) u et v sont orthogonaux — Caractérisation de l’orthogonalité. -
u · u = ?
Réponse
c) ‖u‖² — Carré scalaire. -
Si ‖u‖ = 2, ‖v‖ = 3 et (u, v) = π/2, alors u · v = …
Réponse
b) 0 — cos(π/2) = 0.
تعاريف الجداء السلمي، التعامد، مبرهنة الكاشي ومبرهنة المتوسط.
∑ملخص الدرس
تعاريف
- بالزاوية: u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos(u, v).
- بالإسقاط: إذا كانت H المسقط العمودي لـ C على (AB) فإن AB · AC = AB · AH (= AB × AH إذا كان لهما نفس المنحى، و −AB × AH في الحالة المعاكسة).
- u · u = ‖u‖².
خاصيات
u · v = v · u ؛ u · (v + w) = u · v + u · w ؛ (k·u) · v = k (u · v).
التعامد: u ⊥ v ⇔ u · v = 0.
علاقات مترية في مثلث ABC
- الكاشي: BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos Â.
- مبرهنة المتوسط (I منتصف [BC]): AB² + AC² = 2 AI² + BC²/2.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
في المثلث ABC: AB = 4 و AC = 3 و Â = 60°. احسب AB · AC ثم BC.
عرض الحل
BC² = 16 + 9 − 2 × 6 = 13، إذن BC = √13.
مثال 2
ABCD مربع طول ضلعه a. احسب AB · AC.
عرض الحل
مثال 3
في المثلث ABC: AB = 5 و AC = 7 و BC = 6 و I منتصف [BC]. احسب AI.
عرض الحل
AI = 2√7.
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إذا كان u · v = 0 (متجهتان غير منعدمتين) فإن…
الجواب
ب) u و v متعامدتان — تمييز التعامد. -
u · u = ؟
الجواب
ج) ‖u‖² — المربع السلمي. -
إذا كان ‖u‖ = 2 و ‖v‖ = 3 و (u, v) = π/2 فإن u · v = …
الجواب
ب) 0 — cos(π/2) = 0.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.