10. Statistiques

TC Sciences et Technologies · Mathématiques · Chapitre 10الإحصاء

≈ 6 minSemestre 12 exemples4 questions

Résumer une série statistique avec ses paramètres de position et de dispersion.

∑Résumé du cours

Vocabulaire

Population, individu, caractère (qualitatif ou quantitatif, discret ou continu), modalité xᵢ, effectif nᵢ, effectif total N = Σnᵢ, fréquence fᵢ = nᵢ / N, effectifs cumulés.

Paramètres de position

Mode : la valeur (ou classe) de plus grand effectif.
Moyenne : x̄ = (Σ nᵢxᵢ) / N = Σ fᵢxᵢ. Pour des classes, on utilise les centres des classes.
Médiane Me : la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif. Si N est pair, c’est la moyenne des valeurs de rangs N/2 et N/2 + 1.

Paramètres de dispersion

Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur.
Variance : V = (1/N) Σ nᵢ(xᵢ − x̄)² = (1/N) Σ nᵢxᵢ² − x̄².
Écart-type : σ = √V. Plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

Notes de 10 élèves : 8 (2 élèves), 10 (3), 12 (4), 15 (1). Calculer le mode, la moyenne et la médiane.

Voir la correction

Mode : 12.
x̄ = (2×8 + 3×10 + 4×12 + 15)/10 = 109/10 = 10,9.
Série ordonnée : 8, 8, 10, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 15. N = 10 est pair : Me = (10 + 12)/2 = 11.

Exemple 2

Calculer la variance et l’écart-type de la série précédente.

Voir la correction

Σnᵢxᵢ² = 2×64 + 3×100 + 4×144 + 225 = 1229.
V = 1229/10 − 10,9² = 122,9 − 118,81 = 4,09.
σ = √4,09 ≈ 2,02.

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La médiane de 3, 5, 7, 9, 20 est…

Réponse

a) 7 — Valeur centrale de la série ordonnée.
La moyenne de 3, 5, 7, 9, 20 est…

Réponse

b) 8,8 — 44/5 = 8,8.
L’écart-type mesure…

Réponse

b) la dispersion — Paramètre de dispersion.
La somme des fréquences vaut…

Réponse

b) 1 — Σnᵢ/N = 1 (ou 100 %).

تلخيص متسلسلة إحصائية بوسائط الموضع والتشتت.

∑ملخص الدرس

مفردات

الساكنة، الفرد، الميزة (نوعية أو كمية، متقطعة أو متصلة)، القيمة xᵢ، الحصيص nᵢ، الحصيص الإجمالي N = Σnᵢ، التردد fᵢ = nᵢ / N، الحصيصات المتراكمة.

وسائط الموضع

المنوال: القيمة (أو الفئة) ذات أكبر حصيص.
المعدل: x̄ = (Σ nᵢxᵢ) / N = Σ fᵢxᵢ. بالنسبة للفئات نستعمل مراكز الفئات.
الوسيط Me: القيمة التي تقسم المتسلسلة المرتبة إلى مجموعتين لهما نفس الحصيص. إذا كان N زوجيًا فهو معدل القيمتين ذواتي الرتبتين N/2 و N/2 + 1.

وسائط التشتت

المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة.
المغايرة: V = (1/N) Σ nᵢ(xᵢ − x̄)² = (1/N) Σ nᵢxᵢ² − x̄².
الانحراف الطرازي: σ = √V. كلما كبر σ كانت القيم أكثر تشتتًا حول المعدل.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

نقط 10 تلاميذ: 8 (تلميذان)، 10 (3)، 12 (4)، 15 (1). احسب المنوال والمعدل والوسيط.

عرض الحل

المنوال: 12.
x̄ = (2×8 + 3×10 + 4×12 + 15)/10 = 109/10 = 10,9.
المتسلسلة المرتبة: 8، 8، 10، 10، 10، 12، 12، 12، 12، 15. N = 10 زوجي: Me = (10 + 12)/2 = 11.

مثال 2

احسب المغايرة والانحراف الطرازي للمتسلسلة السابقة.