5. Équations, inéquations et systèmes

∑Résumé du cours

Équation du second degré ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Discriminant : Δ = b² − 4ac.

• Δ > 0 : deux solutions x₁ = (−b − √Δ) / 2a et x₂ = (−b + √Δ) / 2a.
• Δ = 0 : une solution double x₀ = −b / 2a.
• Δ < 0 : pas de solution réelle.

Si les racines existent : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.

Signe du trinôme ax² + bx + c

Il est du signe de a partout, sauf entre les racines (quand Δ > 0) où il est du signe opposé.

Système de deux équations : ax + by = c ; a′x + b′y = c′

Déterminant : D = ab′ − a′b.

• Si D ≠ 0 : une solution unique x = (cb′ − c′b)/D, y = (ac′ − a′c)/D.
• Si D = 0 : aucune solution ou une infinité.

On peut aussi résoudre par substitution ou par combinaison.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. L’équation x² + 2x + 5 = 0 a…

   a) deux solutionsb) une solutionc) aucune solution réelle
   Réponse

   c) aucune solution réelle — Δ = 4 − 20 = −16 < 0.

2. La somme des racines de x² − 5x + 6 est…

   a) −5b) 5c) 6
   Réponse

   b) 5 — x₁ + x₂ = −b/a = 5.

3. −x² + 4 > 0 a pour solution…

   a) ]−2 ; 2[b) ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[c) ℝ
   Réponse

   a) ]−2 ; 2[ — a < 0 : positif entre les racines −2 et 2.

4. Si le déterminant d’un système est non nul, il a…

   a) aucune solutionb) une solution uniquec) une infinité
   Réponse

   b) une solution unique — D ≠ 0 ⇒ solution unique.

∑ملخص الدرس

المعادلة من الدرجة الثانية ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

المميز: Δ = b² − 4ac.

• Δ > 0: حلان x₁ = (−b − √Δ) / 2a و x₂ = (−b + √Δ) / 2a.
• Δ = 0: حل مزدوج x₀ = −b / 2a.
• Δ < 0: لا يوجد حل حقيقي.

إذا وُجد الجذران: x₁ + x₂ = −b/a و x₁ × x₂ = c/a.

إشارة ثلاثية الحدود ax² + bx + c

لها إشارة a في كل مكان، إلا بين الجذرين (عندما Δ > 0) حيث لها الإشارة المعاكسة.

نظمة معادلتين: ax + by = c ؛ a′x + b′y = c′

المحددة: D = ab′ − a′b.

• إذا كان D ≠ 0: حل وحيد x = (cb′ − c′b)/D و y = (ac′ − a′c)/D.
• إذا كان D = 0: لا حل أو ما لا نهاية من الحلول.

يمكن الحل أيضًا بطريقة التعويض أو التأليفة الخطية.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. المعادلة x² + 2x + 5 = 0 لها…

   أ) حلانب) حل واحدج) لا حل حقيقي
   الجواب

   ج) لا حل حقيقي — Δ = 4 − 20 = −16 < 0.

2. مجموع جذري x² − 5x + 6 هو…

   أ) −5ب) 5ج) 6
   الجواب

   ب) 5 — x₁ + x₂ = −b/a = 5.

3. حل −x² + 4 > 0 هو…

   أ) ]−2 ; 2[ب) ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[ج) ℝ
   الجواب

   أ) ]−2 ; 2[ — a < 0: موجبة بين الجذرين −2 و 2.

4. إذا كانت محددة نظمة غير منعدمة فإن لها…

   أ) لا حلب) حلًا وحيدًاج) ما لا نهاية من الحلول
   الجواب

   ب) حلًا وحيدًا — D ≠ 0 ⇒ حل وحيد.