13. Fonctions : parabole et hyperbole

∑Résumé du cours

Fonction trinôme f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/2a et β = f(α).

Sa courbe est une parabole de sommet S(α ; β) et d’axe de symétrie la droite x = α.

• a > 0 : f décroissante sur ]−∞ ; α], croissante sur [α ; +∞[ ; minimum β.
• a < 0 : f croissante puis décroissante ; maximum β.

Fonction homographique f(x) = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0, ad − bc ≠ 0)

Définie sur ℝ \ {−d/c}. On peut l’écrire f(x) = β + k/(x − α) avec α = −d/c et β = a/c.

Sa courbe est une hyperbole de centre Ω(α ; β), d’asymptotes x = α et y = β.

• k > 0 : f décroissante sur chaque intervalle ]−∞ ; α[ et ]α ; +∞[.
• k < 0 : f croissante sur chacun de ces intervalles.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. Le sommet de y = (x − 3)² + 2 est…

   a) (3 ; 2)b) (−3 ; 2)c) (2 ; 3)
   Réponse

   a) (3 ; 2) — Forme canonique a(x − α)² + β.

2. Si a < 0, la fonction x ↦ ax² + bx + c admet…

   a) un minimumb) un maximumc) ni l’un ni l’autre
   Réponse

   b) un maximum — Parabole tournée vers le bas.

3. Les asymptotes de y = 1 + 2/(x + 3) sont…

   a) x = 3 et y = 1b) x = −3 et y = 1c) x = −3 et y = 2
   Réponse

   b) x = −3 et y = 1 — α = −3, β = 1.

∑ملخص الدرس

دالة ثلاثية الحدود f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

الشكل النموذجي: f(x) = a(x − α)² + β مع α = −b/2a و β = f(α).

منحناها شلجم رأسه S(α ; β) ومحور تماثله المستقيم x = α.

• a > 0: f تناقصية على ]−∞ ; α] وتزايدية على [α ; +∞[؛ قيمتها الدنيا β.
• a < 0: f تزايدية ثم تناقصية؛ قيمتها القصوى β.

الدالة المتخاطة f(x) = (ax + b)/(cx + d) (c ≠ 0 ، ad − bc ≠ 0)

معرفة على ℝ \ {−d/c}. يمكن كتابتها f(x) = β + k/(x − α) مع α = −d/c و β = a/c.

منحناها هذلول مركزه Ω(α ; β) ومقارباه x = α و y = β.

• k > 0: f تناقصية على كل من المجالين ]−∞ ; α[ و ]α ; +∞[.
• k < 0: f تزايدية على كل من هذين المجالين.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. رأس y = (x − 3)² + 2 هو…

   أ) (3 ; 2)ب) (−3 ; 2)ج) (2 ; 3)
   الجواب

   أ) (3 ; 2) — الشكل النموذجي a(x − α)² + β.

2. إذا كان a < 0، فإن x ↦ ax² + bx + c تقبل…

   أ) قيمة دنياب) قيمة قصوىج) لا هذه ولا تلك
   الجواب

   ب) قيمة قصوى — شلجم موجه نحو الأسفل.

3. مقاربا y = 1 + 2/(x + 3) هما…

   أ) x = 3 و y = 1ب) x = −3 و y = 1ج) x = −3 و y = 2
   الجواب

   ب) x = −3 و y = 1 — α = −3 و β = 1.