16. Systèmes mécaniques oscillants
Pendule élastique, pendule pesant, pendule de torsion : périodes propres et amortissement.
ΦRésumé du cours
Pendule élastique horizontal
Force de rappel T = −kx. RFD : ẍ + (k/m) x = 0. Solution x(t) = Xm cos(2πt/T₀ + φ), T₀ = 2π√(m/k).
Pendule vertical : à l’équilibre k Δℓ₀ = mg ; même équation autour de l’équilibre.
Pendule de torsion
Couple de rappel −Cθ : θ̈ + (C/JΔ) θ = 0, T₀ = 2π√(JΔ/C).
Pendule pesant et pendule simple
Pour de petites oscillations : θ̈ + (mgd/JΔ) θ = 0, T₀ = 2π√(JΔ/(mgd)).
Pendule simple (masse ponctuelle au bout d’un fil de longueur ℓ) : T₀ = 2π√(ℓ/g).
Amortissement et résonance
Avec frottements, les oscillations sont pseudo-périodiques ou apériodiques. Excité périodiquement, l’oscillateur entre en résonance quand la fréquence de l’excitateur est voisine de sa fréquence propre.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
m = 200 g, k = 20 N/m. Période propre ?
Voir la correction
Exemple 2
Longueur d’un pendule simple qui bat la seconde (T₀ = 2 s, g = 9,8) ?
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
T₀ d’un pendule élastique :
Réponse
b) 2π√(m/k) — Plus la masse est grande, plus c’est lent. -
La période d’un pendule simple dépend de la masse ?
Réponse
b) Non — T₀ = 2π√(ℓ/g). -
Si k est multiplié par 4, T₀ est…
Réponse
b) ÷ 2 — T₀ ∝ 1/√k. -
Résonance mécanique : fréquence excitatrice ≈ …
Réponse
b) fréquence propre — Amplitude maximale.
النواس المرن، النواس الوازن، نواس اللي: الأدوار الخاصة والخمود.
Φملخص الدرس
النواس المرن الأفقي
قوة الإرجاع T = −kx. العلاقة الأساسية: ẍ + (k/m) x = 0. الحل x(t) = Xm cos(2πt/T₀ + φ)، T₀ = 2π√(m/k).
النواس الرأسي: عند التوازن k Δℓ₀ = mg؛ ونفس المعادلة حول موضع التوازن.
نواس اللي
مزدوجة الإرجاع −Cθ: θ̈ + (C/JΔ) θ = 0، T₀ = 2π√(JΔ/C).
النواس الوازن والنواس البسيط
بالنسبة للتذبذبات الصغيرة: θ̈ + (mgd/JΔ) θ = 0، T₀ = 2π√(JΔ/(mgd)).
النواس البسيط (كتلة نقطية في طرف خيط طوله ℓ): T₀ = 2π√(ℓ/g).
الخمود والرنين
مع الاحتكاكات، تكون التذبذبات شبه دورية أو لادورية. وعند إثارته دوريًا، يدخل المتذبذب في رنين عندما يكون تردد المثير قريبًا من تردده الخاص.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
m = 200 g و k = 20 N/m. الدور الخاص؟
عرض الحل
مثال 2
طول نواس بسيط يدق الثانية (T₀ = 2 s، g = 9,8)؟
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
T₀ لنواس مرن:
الجواب
ب) 2π√(m/k) — كلما كانت الكتلة أكبر كان أبطأ. -
هل يتعلق دور النواس البسيط بالكتلة؟
الجواب
ب) لا — T₀ = 2π√(ℓ/g). -
إذا ضُربت k في 4، فإن T₀…
الجواب
ب) ÷ 2 — T₀ ∝ 1/√k. -
الرنين الميكانيكي: تردد المثير ≈ …
الجواب
ب) التردد الخاص — وسع قصوي.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.