6. Fonction exponentielle
exp, propriétés, limites, équations et croissance exponentielle.
∑Résumé du cours
exp est la réciproque de ln : eˣ > 0, e⁰ = 1, (eˣ)’ = eˣ, (eᵘ)’ = u’eᵘ.
ea+b = eᵃeᵇ ; e−a = 1/eᵃ ; ln(eˣ) = x ; eln x = x.
Limites : eˣ → +∞ en +∞, → 0 en −∞ ; eˣ/x → +∞ ; x eˣ → 0 en −∞.
Modèles : croissance/décroissance exponentielle de population, de prix (f(t) = A ekt).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre e2x − 1 = 1.
Voir la correction
Exemple 2
Dériver f(x) = (x + 1)eˣ.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
eln 3 = ?
Réponse
a) 3 — Réciproques. -
limx→−∞ eˣ = ?
Réponse
a) 0 — Asymptote y = 0. -
(e−x)’ = ?
Réponse
b) −e−x — u’ = −1.
exp، الخاصيات، النهايات، المعادلات والنمو الأسي.
∑ملخص الدرس
exp هي الدالة العكسية لـ ln: eˣ > 0، e⁰ = 1، (eˣ)’ = eˣ، (eᵘ)’ = u’eᵘ.
ea+b = eᵃeᵇ ؛ e−a = 1/eᵃ ؛ ln(eˣ) = x ؛ eln x = x.
النهايات: eˣ → +∞ في +∞، → 0 في −∞ ؛ eˣ/x → +∞ ؛ x eˣ → 0 في −∞.
نماذج: النمو/التناقص الأسي لساكنة أو لأسعار (f(t) = A ekt).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل e2x − 1 = 1.
عرض الحل
مثال 2
اشتق f(x) = (x + 1)eˣ.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
eln 3 = ؟
الجواب
أ) 3 — دالتان عكسيتان. -
limx→−∞ eˣ = ؟
الجواب
أ) 0 — مقارب y = 0. -
(e−x)’ = ؟
الجواب
ب) −e−x — u’ = −1.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.