6. Trigonométrie : formules de transformation
Formules d’addition, de duplication, transformations et équations trigonométriques.
∑Résumé du cours
Addition
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b ; sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b ; tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b).
Duplication
sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos² a − sin² a = 2cos² a − 1 = 1 − 2sin² a.
Transformation
a cos x + b sin x = r cos(x − φ) avec r = √(a² + b²). Formules produit → somme et somme → produit.
Équations
cos x = cos α ⇔ x = ±α + 2kπ ; sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ ou x = π − α + 2kπ ; tan x = tan α ⇔ x = α + kπ.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Calculer cos(π/12).
Voir la correction
Exemple 2
Résoudre √3 cos x + sin x = 1.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
cos 2a = ?
Réponse
a) 2cos² a − 1 — Duplication. -
sin x = 1/2 sur [0 ; 2π[ :
Réponse
a) π/6 et 5π/6 — sin α = sin(π − α). -
sin(a + b) = ?
Réponse
a) sin a cos b + cos a sin b — Addition.
صيغ الجمع، المضاعفة، التحويل والمعادلات المثلثية.
∑ملخص الدرس
صيغ الجمع
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b ؛ sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b ؛ tan(a + b) = (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b).
المضاعفة
sin 2a = 2 sin a cos a ؛ cos 2a = cos² a − sin² a = 2cos² a − 1 = 1 − 2sin² a.
التحويل
a cos x + b sin x = r cos(x − φ) مع r = √(a² + b²). صيغ تحويل الجداء إلى مجموع والمجموع إلى جداء.
المعادلات
cos x = cos α ⇔ x = ±α + 2kπ ؛ sin x = sin α ⇔ x = α + 2kπ أو x = π − α + 2kπ ؛ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
احسب cos(π/12).
عرض الحل
مثال 2
حل √3 cos x + sin x = 1.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
cos 2a = ؟
الجواب
أ) 2cos² a − 1 — المضاعفة. -
sin x = 1/2 على [0 ; 2π[:
الجواب
أ) π/6 و 5π/6 — sin α = sin(π − α). -
sin(a + b) = ؟
الجواب
أ) sin a cos b + cos a sin b — صيغة الجمع.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.