13. Produit vectoriel

2BAC Sciences expérimentales et technologiques · Mathématiques · Chapitre 13الجداء المتجهي

≈ 6 minSemestre 22 exemples4 questions

Définition, coordonnées et applications : vecteur normal, aire d’un triangle, distance d’un point à une droite.

∫Résumé du cours

Définition

Dans l’espace orienté, u⃗ ∧ v⃗ est le vecteur :

nul si u⃗ et v⃗ sont colinéaires ;
sinon orthogonal à u⃗ et à v⃗, tel que (u⃗, v⃗, u⃗ ∧ v⃗) soit direct, et de norme ‖u⃗‖‖v⃗‖ |sin θ|.

Propriétés : v⃗ ∧ u⃗ = −(u⃗ ∧ v⃗) ; bilinéarité ; u⃗ ∧ v⃗ = 0⃗ ⇔ u⃗ et v⃗ colinéaires.

Coordonnées (repère orthonormé direct)

u⃗(a ; b ; c) ∧ v⃗(a’ ; b’ ; c’) = (bc’ − cb’ ; ca’ − ac’ ; ab’ − ba’).

Applications

A, B, C non alignés : AB⃗ ∧ AC⃗ est un vecteur normal au plan (ABC).
Aire du triangle ABC = (1/2) ‖AB⃗ ∧ AC⃗‖.
Distance de M à la droite D(A, u⃗) : d = ‖AM⃗ ∧ u⃗‖ / ‖u⃗‖.
A, B, C alignés ⇔ AB⃗ ∧ AC⃗ = 0⃗.

✎Exemples corrigés

Exemple 1

A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1). Calculer AB⃗ ∧ AC⃗, l’aire de ABC et une équation de (ABC).

Voir la correction

AB⃗(−1 ; 1 ; 0), AC⃗(−1 ; 0 ; 1). AB⃗ ∧ AC⃗ = (1×1 − 0×0 ; 0×(−1) − (−1)×1 ; (−1)×0 − 1×(−1)) = (1 ; 1 ; 1).
Aire = (1/2)√3 = √3/2.
Plan : x + y + z + d = 0 et A donne d = −1 : x + y + z − 1 = 0.

Exemple 2

Distance de M(1 ; 1 ; 1) à la droite passant par O et dirigée par u⃗(1 ; 0 ; 0).

Voir la correction

OM⃗ ∧ u⃗ = (1×0 − 1×0 ; 1×1 − 1×0 ; 1×0 − 1×1) = (0 ; 1 ; −1), de norme √2.
d = √2 / 1 = √2.

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Si u⃗ et v⃗ sont colinéaires, u⃗ ∧ v⃗ = ?

Réponse

a) 0⃗ — sin θ = 0.
v⃗ ∧ u⃗ = ?

Réponse

b) −(u⃗ ∧ v⃗) — Le produit vectoriel est antisymétrique.
Aire du triangle ABC :

Réponse

b) (1/2)‖AB⃗ ∧ AC⃗‖ — Moitié de l’aire du parallélogramme.
i⃗ ∧ j⃗ = ? (repère orthonormé direct)

Réponse

a) k⃗ — (i⃗, j⃗, k⃗) est direct.

التعريف، الإحداثيات والتطبيقات: متجهة منظمية، مساحة مثلث، مسافة نقطة عن مستقيم.

∫ملخص الدرس

تعريف

في الفضاء الموجه، u⃗ ∧ v⃗ هي المتجهة:

المنعدمة إذا كانت u⃗ و v⃗ مستقيميتين؛
وإلا فهي عمودية على u⃗ وعلى v⃗، بحيث يكون (u⃗, v⃗, u⃗ ∧ v⃗) مباشرًا، ومنظمها ‖u⃗‖‖v⃗‖ |sin θ|.

الخاصيات: v⃗ ∧ u⃗ = −(u⃗ ∧ v⃗) ؛ ثنائية الخطية ؛ u⃗ ∧ v⃗ = 0⃗ ⇔ u⃗ و v⃗ مستقيميتان.

الإحداثيات (معلم متعامد ممنظم مباشر)

u⃗(a ; b ; c) ∧ v⃗(a’ ; b’ ; c’) = (bc’ − cb’ ; ca’ − ac’ ; ab’ − ba’).

التطبيقات

A و B و C غير مستقيمية: AB⃗ ∧ AC⃗ متجهة منظمية على المستوى (ABC).
مساحة المثلث ABC = (1/2) ‖AB⃗ ∧ AC⃗‖.
مسافة M عن المستقيم D(A, u⃗): d = ‖AM⃗ ∧ u⃗‖ / ‖u⃗‖.
A و B و C مستقيمية ⇔ AB⃗ ∧ AC⃗ = 0⃗.

✎أمثلة محلولة

مثال 1

A(1 ; 0 ; 0) و B(0 ; 1 ; 0) و C(0 ; 0 ; 1). احسب AB⃗ ∧ AC⃗ ومساحة ABC ومعادلة (ABC).

عرض الحل

AB⃗(−1 ; 1 ; 0) و AC⃗(−1 ; 0 ; 1). AB⃗ ∧ AC⃗ = (1×1 − 0×0 ; 0×(−1) − (−1)×1 ; (−1)×0 − 1×(−1)) = (1 ; 1 ; 1).
المساحة = (1/2)√3 = √3/2.
المستوى: x + y + z + d = 0 و A تعطي d = −1: x + y + z − 1 = 0.

مثال 2

مسافة M(1 ; 1 ; 1) عن المستقيم المار من O والموجه بـ u⃗(1 ; 0 ; 0).