16. Géométrie dans l’espace

∑Résumé du cours

Règles de base

• Par trois points non alignés passe un seul plan.
• Si deux points d’une droite sont dans un plan, toute la droite est dans ce plan.
• Deux plans distincts sécants se coupent selon une droite.

Positions relatives

• Deux droites : coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires.
• Une droite et un plan : droite incluse, sécante (un point) ou parallèle (aucun point).
• Deux plans : parallèles ou sécants (selon une droite).

Parallélisme

• Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan.
• Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à l’autre.
• Théorème du toit : si (D) // (D′), avec (D) ⊂ P et (D′) ⊂ Q, et si P et Q sont sécants selon (Δ), alors (Δ) // (D).

Orthogonalité

• Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
• Elle est alors orthogonale à toutes les droites du plan.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. Deux droites non coplanaires sont…

   a) sécantesb) parallèlesc) ni sécantes ni parallèles
   Réponse

   c) ni sécantes ni parallèles — Elles ne sont dans aucun plan commun.

2. Pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan, il suffit qu’elle soit orthogonale à…

   a) une droite du planb) deux droites sécantes du planc) deux droites parallèles du plan
   Réponse

   b) deux droites sécantes du plan — Critère d’orthogonalité.

3. Par trois points non alignés passe…

   a) un seul planb) deux plansc) une infinité de plans
   Réponse

   a) un seul plan — Règle de base.

∑ملخص الدرس

قواعد أساسية

• من ثلاث نقط غير مستقيمية يمر مستوى وحيد.
• إذا انتمت نقطتان من مستقيم إلى مستوى فإن المستقيم كله محتوى في هذا المستوى.
• يتقاطع مستويان مختلفان متقاطعان وفق مستقيم.

الأوضاع النسبية

• مستقيمان: مستوائيان (متقاطعان أو متوازيان) أو غير مستوائيين.
• مستقيم ومستوى: المستقيم محتوى، أو يخترقه (نقطة واحدة)، أو مواز له (لا نقطة مشتركة).
• مستويان: متوازيان أو متقاطعان (وفق مستقيم).

التوازي

• يكون مستقيم موازيًا لمستوى إذا كان موازيًا لمستقيم من هذا المستوى.
• يكون مستويان متوازيين إذا كان مستقيمان متقاطعان من أحدهما موازيين للآخر.
• مبرهنة السقف: إذا كان (D) // (D′) مع (D) ⊂ P و (D′) ⊂ Q، وكان P و Q متقاطعين وفق (Δ)، فإن (Δ) // (D).

التعامد

• يكون مستقيم عموديًا على مستوى إذا كان عموديًا على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوى.
• ويكون حينئذ عموديًا على كل مستقيمات المستوى.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. مستقيمان غير مستوائيين…

   أ) متقاطعانب) متوازيانج) لا متقاطعان ولا متوازيان
   الجواب

   ج) لا متقاطعان ولا متوازيان — لا يوجدان في أي مستوى مشترك.

2. لكي يكون مستقيم عموديًا على مستوى يكفي أن يكون عموديًا على…

   أ) مستقيم من المستوىب) مستقيمين متقاطعين من المستوىج) مستقيمين متوازيين من المستوى
   الجواب

   ب) مستقيمين متقاطعين من المستوى — معيار التعامد.

3. من ثلاث نقط غير مستقيمية يمر…

   أ) مستوى وحيدب) مستويانج) ما لا نهاية من المستويات
   الجواب

   أ) مستوى وحيد — قاعدة أساسية.