4. Les polynômes
Degré, racines et factorisation d’un polynôme : un outil clé pour résoudre les équations.
∑Résumé du cours
Définitions
Un polynôme de degré n s’écrit P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ avec aₙ ≠ 0. Deux polynômes sont égaux s’ils ont le même degré et les mêmes coefficients.
Le degré d’un produit est la somme des degrés : deg(P × Q) = deg P + deg Q.
Racine d’un polynôme
a est une racine de P si P(a) = 0.
Théorème : a est une racine de P ⇔ P est divisible par (x − a), c’est-à-dire P(x) = (x − a) Q(x) avec deg Q = deg P − 1.
Plus généralement, le reste de la division de P(x) par (x − a) est P(a).
Méthode pour factoriser
- Chercher une racine « évidente » (souvent 1, −1, 2, −2).
- Trouver Q par division euclidienne, par identification des coefficients ou par la méthode de Horner.
- Factoriser Q si possible (discriminant pour un degré 2).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Factoriser P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.
Voir la correction
Par identification : Q(x) = x² − x − 6 (vérification : (x − 1)(x² − x − 6) = x³ − 2x² − 5x + 6 ✔).
Q a pour racines 3 et −2, donc P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).
Exemple 2
Déterminer a et b pour que P(x) = x² + ax + b vérifie P(1) = 0 et P(2) = 3.
Voir la correction
P(x) = x² − 1.
Exemple 3
Quel est le reste de la division de P(x) = 2x³ + x − 5 par (x − 2) ?
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-
Le degré de (x² + 1)(x³ − x) est…
Réponse
b) 5 — 2 + 3 = 5. -
2 est-il racine de x² − 5x + 6 ?
Réponse
a) Oui — 4 − 10 + 6 = 0. -
Le reste de la division de P(x) par (x − a) est…
Réponse
b) P(a) — Théorème du reste. -
Si P est de degré 4 et P(x) = (x − 1)Q(x), le degré de Q est…
Réponse
a) 3 — deg Q = deg P − 1.
الدرجة والجذور وتعميل حدودية: أداة أساسية لحل المعادلات.
∑ملخص الدرس
تعاريف
الحدودية من الدرجة n تكتب P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ مع aₙ ≠ 0. تكون حدوديتان متساويتين إذا كان لهما نفس الدرجة ونفس المعاملات.
درجة جداء حدوديتين هي مجموع درجتيهما: deg(P × Q) = deg P + deg Q.
جذر حدودية
a جذر لـ P إذا كان P(a) = 0.
مبرهنة: a جذر لـ P ⇔ P قابلة للقسمة على (x − a)، أي P(x) = (x − a) Q(x) مع deg Q = deg P − 1.
وعمومًا، باقي قسمة P(x) على (x − a) هو P(a).
طريقة التعميل
- البحث عن جذر «بديهي» (غالبًا 1، −1، 2، −2).
- إيجاد Q بالقسمة الإقليدية أو بمطابقة المعاملات أو بطريقة هورنر.
- تعميل Q إن أمكن (المميز بالنسبة للدرجة الثانية).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
عمّل P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.
عرض الحل
بالمطابقة: Q(x) = x² − x − 6 (تحقق: (x − 1)(x² − x − 6) = x³ − 2x² − 5x + 6 ✔).
جذرا Q هما 3 و −2، إذن P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2).
مثال 2
حدد a و b لكي تحقق P(x) = x² + ax + b: P(1) = 0 و P(2) = 3.
عرض الحل
P(x) = x² − 1.
مثال 3
ما باقي قسمة P(x) = 2x³ + x − 5 على (x − 2)؟
عرض الحل
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درجة (x² + 1)(x³ − x) هي…
الجواب
ب) 5 — 2 + 3 = 5. -
هل 2 جذر لـ x² − 5x + 6؟
الجواب
أ) نعم — 4 − 10 + 6 = 0. -
باقي قسمة P(x) على (x − a) هو…
الجواب
ب) P(a) — مبرهنة الباقي. -
إذا كانت P من الدرجة 4 و P(x) = (x − 1)Q(x) فإن درجة Q هي…
الجواب
أ) 3 — deg Q = deg P − 1.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.