8. La droite dans le plan (étude analytique)

∑Résumé du cours

Repère et coordonnées

Dans un repère (O ; i, j) : AB(x_B − x_A ; y_B − y_A) ; milieu I((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).

Colinéarité

u(x ; y) et v(x′ ; y′) sont colinéaires ⇔ det(u, v) = xy′ − x′y = 0.

Équations d’une droite

• Paramétrique : passant par A(x_A ; y_A) de vecteur directeur u(α ; β) : x = x_A + αt, y = y_A + βt (t ∈ ℝ).
• Cartésienne : ax + by + c = 0, avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) ; un vecteur directeur est u(−b ; a).
• Réduite : y = mx + p (droite non parallèle à l’axe des ordonnées) ; m est la pente : m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A).

Positions relatives

• Deux droites sont parallèles ⇔ leurs vecteurs directeurs sont colinéaires ⇔ (forme réduite) même pente.
• Sinon elles sont sécantes ; on trouve l’intersection en résolvant le système de leurs équations.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. La pente de y = −3x + 5 est…

   a) 5b) −3c) 3
   Réponse

   b) −3 — Coefficient de x.

2. Un vecteur directeur de 3x + 2y − 1 = 0 est…

   a) (3 ; 2)b) (−2 ; 3)c) (2 ; 3)
   Réponse

   b) (−2 ; 3) — u(−b ; a) = (−2 ; 3).

3. u(1 ; 2) et v(2 ; 4) sont…

   a) colinéairesb) non colinéaires
   Réponse

   a) colinéaires — det = 4 − 4 = 0.

4. A(1 ; 1) appartient-il à x + y − 2 = 0 ?

   a) Ouib) Non
   Réponse

   a) Oui — 1 + 1 − 2 = 0.

∑ملخص الدرس

المعلم والإحداثيات

في معلم (O ; i, j): AB(x_B − x_A ; y_B − y_A) ؛ المنتصف I((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).

الاستقامية

u(x ; y) و v(x′ ; y′) مستقيميتان ⇔ det(u, v) = xy′ − x′y = 0.

معادلات مستقيم

• تمثيل بارامتري: المار من A(x_A ; y_A) والموجه بـ u(α ; β): x = x_A + αt ، y = y_A + βt (t ∈ ℝ).
• معادلة ديكارتية: ax + by + c = 0 مع (a ; b) ≠ (0 ; 0)؛ متجهة موجهة له هي u(−b ; a).
• المعادلة المختصرة: y = mx + p (مستقيم غير مواز لمحور الأراتيب)؛ m هو المعامل الموجه: m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A).

الأوضاع النسبية

• يكون مستقيمان متوازيين ⇔ متجهتاهما الموجهتان مستقيميتان ⇔ (بالمعادلة المختصرة) لهما نفس المعامل الموجه.
• وإلا فهما متقاطعان؛ ونجد نقطة التقاطع بحل نظمة معادلتيهما.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. المعامل الموجه لـ y = −3x + 5 هو…

   أ) 5ب) −3ج) 3
   الجواب

   ب) −3 — معامل x.

2. متجهة موجهة لـ 3x + 2y − 1 = 0 هي…

   أ) (3 ; 2)ب) (−2 ; 3)ج) (2 ; 3)
   الجواب

   ب) (−2 ; 3) — u(−b ; a) = (−2 ; 3).

3. u(1 ; 2) و v(2 ; 4)…

   أ) مستقيميتانب) غير مستقيميتين
   الجواب

   أ) مستقيميتان — det = 4 − 4 = 0.

4. هل A(1 ; 1) تنتمي إلى x + y − 2 = 0؟

   أ) نعمب) لا
   الجواب

   أ) نعم — 1 + 1 − 2 = 0.