1. Arithmétique dans ℕ

∑Résumé du cours

Multiples et diviseurs

Soient a et b deux entiers naturels avec b ≠ 0. On dit que b divise a (ou que a est un multiple de b) s’il existe un entier k tel que a = k × b.

Nombres pairs et impairs

• n est pair s’il s’écrit n = 2k (k ∈ ℕ).
• n est impair s’il s’écrit n = 2k + 1.
• La somme de deux nombres de même parité est paire ; le produit de deux entiers consécutifs n(n+1) est toujours pair.
• Si n est pair, n² est pair ; si n est impair, n² est impair.

Nombres premiers

Un entier p ≥ 2 est premier s’il n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11, 13…).

Test pratique : si n n’est divisible par aucun nombre premier p tel que p² ≤ n, alors n est premier.

Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers (ex. 360 = 2³ × 3² × 5).

PGCD et PPCM

• PGCD(a, b) : produit des facteurs premiers communs, chacun avec son plus petit exposant.
• PPCM(a, b) : produit de tous les facteurs premiers, chacun avec son plus grand exposant.
• Relation : PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b.
• a et b sont premiers entre eux si PGCD(a, b) = 1.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. Le nombre 91 est-il premier ?

   a) Ouib) Non
   Réponse

   b) Non — 91 = 7 × 13.

2. PGCD(18 ; 24) = ?

   a) 3b) 6c) 72
   Réponse

   b) 6 — 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3 → PGCD = 2 × 3 = 6.

3. Si n est impair, alors n² est…

   a) pairb) impairc) ça dépend de n
   Réponse

   b) impair — (2k+1)² = 2(2k²+2k) + 1.

4. Combien 12 a-t-il de diviseurs ?

   a) 4b) 5c) 6
   Réponse

   c) 6 — 1, 2, 3, 4, 6, 12.

∑ملخص الدرس

المضاعفات والقواسم

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين مع b ≠ 0. نقول إن b يقسم a (أو إن a مضاعف لـ b) إذا وُجد عدد صحيح k بحيث a = k × b.

الأعداد الزوجية والفردية

• n زوجي إذا كُتب على شكل n = 2k (k ∈ ℕ).
• n فردي إذا كُتب على شكل n = 2k + 1.
• مجموع عددين لهما نفس الزوجية عدد زوجي؛ وجداء عددين متتابعين n(n+1) زوجي دائمًا.
• إذا كان n زوجيًا فإن n² زوجي؛ وإذا كان n فرديًا فإن n² فردي.

الأعداد الأولية

العدد الصحيح p ≥ 2 أولي إذا لم يكن له إلا قاسمان: 1 ونفسه (2، 3، 5، 7، 11، 13…).

اختبار عملي: إذا لم يقبل n القسمة على أي عدد أولي p يحقق p² ≤ n، فإن n أولي.

كل عدد صحيح n ≥ 2 يُفكك بكيفية وحيدة إلى جداء عوامل أولية (مثال: 360 = 2³ × 3² × 5).

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

• PGCD(a, b): جداء العوامل الأولية المشتركة، كل منها بأصغر أس.
• PPCM(a, b): جداء كل العوامل الأولية، كل منها بأكبر أس.
• العلاقة: PGCD(a, b) × PPCM(a, b) = a × b.
• a و b أوليان فيما بينهما إذا كان PGCD(a, b) = 1.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. هل العدد 91 أولي؟

   أ) نعمب) لا
   الجواب

   ب) لا — 91 = 7 × 13.

2. PGCD(18 ; 24) = ؟

   أ) 3ب) 6ج) 72
   الجواب

   ب) 6 — 18 = 2 × 3² و 24 = 2³ × 3 ← PGCD = 2 × 3 = 6.

3. إذا كان n فرديًا فإن n²…

   أ) زوجيب) فرديج) يتعلق بـ n
   الجواب

   ب) فردي — (2k+1)² = 2(2k²+2k) + 1.

4. كم عدد قواسم 12؟

   أ) 4ب) 5ج) 6
   الجواب

   ج) 6 — 1، 2، 3، 4، 6، 12.