12. Étude analytique de l’espace
Repère de l’espace, représentations paramétriques et équations cartésiennes de plans.
∑Résumé du cours
Repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗) : coordonnées de points et vecteurs ; milieu, colinéarité (proportionnalité des coordonnées), déterminant de trois vecteurs (coplanarité ⇔ det = 0).
Droite passant par A(x₀ ; y₀ ; z₀) dirigée par u⃗(a ; b ; c) : x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (t ∈ ℝ).
Plan : représentation paramétrique, ou équation cartésienne ax + by + cz + d = 0.
Intersections : droite et plan (résoudre le système), deux plans (droite si non parallèles).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Plan passant par A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1).
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Exemple 2
La droite x = 1 + t, y = 2t, z = −t coupe-t-elle le plan x + y + z = 4 ?
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Trois vecteurs sont coplanaires ssi leur déterminant…
Réponse
a) = 0 — Critère. -
Une équation cartésienne de plan est de la forme…
Réponse
a) ax + by + cz + d = 0 — Dans l’espace. -
Une droite de l’espace se décrit par…
Réponse
a) une représentation paramétrique — Ou deux équations cartésiennes.
معلم الفضاء، التمثيلات البارامترية والمعادلات الديكارتية للمستويات.
∑ملخص الدرس
المعلم (O ; i⃗, j⃗, k⃗): إحداثيات النقط والمتجهات؛ المنتصف، الاستقامية (تناسب الإحداثيات)، محددة ثلاث متجهات (المستوائية ⇔ det = 0).
المستقيم المار من A(x₀ ; y₀ ; z₀) وموجهته u⃗(a ; b ; c): x = x₀ + at، y = y₀ + bt، z = z₀ + ct (t ∈ ℝ).
المستوى: تمثيل بارامتري، أو معادلة ديكارتية ax + by + cz + d = 0.
التقاطعات: مستقيم ومستوى (حل النظمة)، مستويان (مستقيم إذا كانا غير متوازيين).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
المستوى المار من A(1 ; 0 ; 0)، B(0 ; 1 ; 0)، C(0 ; 0 ; 1).
عرض الحل
مثال 2
هل يقطع المستقيم x = 1 + t، y = 2t، z = −t المستوى x + y + z = 4؟
عرض الحل
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ثلاث متجهات مستوائية إذا وفقط إذا كانت محددتها…
الجواب
أ) = 0 — معيار. -
المعادلة الديكارتية لمستوى على الشكل…
الجواب
أ) ax + by + cz + d = 0 — في الفضاء. -
يُوصف مستقيم في الفضاء بـ…
الجواب
أ) تمثيل بارامتري — أو معادلتين ديكارتيتين.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.