12. Limites d’une fonction
Limites finies et infinies, opérations, formes indéterminées et limites trigonométriques.
∑Résumé du cours
Limites usuelles
limx→+∞ xⁿ = +∞ ; lim 1/xⁿ = 0 ; limx→0⁺ 1/x = +∞ ; limx→+∞ √x = +∞.
Polynômes et fractions rationnelles
En ±∞, un polynôme a la limite de son terme de plus haut degré ; une fraction rationnelle, celle du quotient de ses termes de plus haut degré.
Formes indéterminées
+∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞, 0/0 : factoriser, simplifier, utiliser le conjugué.
Trigonométrie
limx→0 sin x / x = 1 ; limx→0 (1 − cos x)/x² = 1/2 ; limx→0 tan x / x = 1.
Comparaison
Encadrement : u ≤ f ≤ v et lim u = lim v = ℓ ⇒ lim f = ℓ. Exemple : |sin x / x| ≤ 1/x ⇒ limx→+∞ sin x / x = 0.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
Voir la correction
Exemple 2
limx→0 sin(3x)/x.
Voir la correction
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
limx→−∞ (2x³ − x + 5) = ?
Réponse
b) −∞ — Terme dominant 2x³. -
limx→0 (1 − cos x)/x² = ?
Réponse
b) 1/2 — Limite trigonométrique usuelle. -
0 × ∞ est…
Réponse
b) une forme indéterminée — Il faut lever l’indétermination.
النهايات المنتهية واللامنتهية، العمليات، الأشكال غير المحددة والنهايات المثلثية.
∑ملخص الدرس
نهايات اعتيادية
limx→+∞ xⁿ = +∞ ؛ lim 1/xⁿ = 0 ؛ limx→0⁺ 1/x = +∞ ؛ limx→+∞ √x = +∞.
الحدوديات والدوال الجذرية
في ±∞، نهاية حدودية هي نهاية حدها الأعلى درجة؛ ونهاية دالة جذرية هي نهاية خارج حديها الأعلى درجة.
الأشكال غير المحددة
+∞ − ∞، 0 × ∞، ∞/∞، 0/0: التعميل، الاختزال، استعمال المرافق.
المثلثات
limx→0 sin x / x = 1 ؛ limx→0 (1 − cos x)/x² = 1/2 ؛ limx→0 tan x / x = 1.
المقارنة
التأطير: u ≤ f ≤ v و lim u = lim v = ℓ ⇒ lim f = ℓ. مثال: |sin x / x| ≤ 1/x ⇒ limx→+∞ sin x / x = 0.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
limx→2 (x² − 4)/(x − 2).
عرض الحل
مثال 2
limx→0 sin(3x)/x.
عرض الحل
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
limx→−∞ (2x³ − x + 5) = ؟
الجواب
ب) −∞ — الحد المهيمن 2x³. -
limx→0 (1 − cos x)/x² = ؟
الجواب
ب) 1/2 — نهاية مثلثية اعتيادية. -
0 × ∞…
الجواب
ب) شكل غير محدد — يجب إزالة عدم التحديد.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.