6. Calcul vectoriel dans le plan

∑Résumé du cours

Vecteurs

Le vecteur AB est défini par une direction, un sens et une longueur. AB = CD ⇔ ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

Relation de Chasles

Pour tous points A, B, C : AB + BC = AC. Aussi : AB = −BA et AA = 0.

Multiplication par un réel

k·u a la même direction que u, le même sens si k > 0 (sens contraire si k < 0) et une longueur |k| × ‖u‖.

Colinéarité

• u et v sont colinéaires s’il existe k tel que v = k·u (ou u = 0).
• A, B, C sont alignés ⇔ AB et AC sont colinéaires.
• (AB) // (CD) ⇔ AB et CD sont colinéaires.

Milieu d’un segment

I est le milieu de [AB] ⇔ AI = ½ AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ pour tout point M, MA + MB = 2 MI.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. AB + BC = ?

   a) CAb) ACc) BA
   Réponse

   b) AC — Relation de Chasles.

2. Si v = −2u, les vecteurs u et v sont…

   a) colinéaires de même sensb) colinéaires de sens contrairesc) non colinéaires
   Réponse

   b) colinéaires de sens contraires — k = −2 < 0.

3. I milieu de [AB] ⇔ …

   a) IA + IB = 0b) IA = IB (vecteurs)c) AI = 2AB
   Réponse

   a) IA + IB = 0 — Les vecteurs IA et IB sont opposés.

4. AB = DC signifie que ABCD est…

   a) un trapèzeb) un parallélogrammec) un losange
   Réponse

   b) un parallélogramme — Égalité de vecteurs.

∑ملخص الدرس

المتجهات

تُعرف المتجهة AB باتجاه ومنحى وطول. AB = CD ⇔ ABDC متوازي أضلاع (قد يكون مسطحًا).

علاقة شال

لكل النقط A و B و C: AB + BC = AC. وأيضًا: AB = −BA و AA = 0.

ضرب متجهة في عدد حقيقي

للمتجهة k·u نفس اتجاه u، ونفس المنحى إذا كان k > 0 (منحى معاكس إذا كان k < 0)، وطولها |k| × ‖u‖.

الاستقامية

• u و v مستقيميتان إذا وُجد k بحيث v = k·u (أو u = 0).
• A و B و C مستقيمية ⇔ AB و AC مستقيميتان.
• (AB) // (CD) ⇔ AB و CD مستقيميتان.

منتصف قطعة

I منتصف [AB] ⇔ AI = ½ AB ⇔ IA + IB = 0 ⇔ لكل نقطة M: MA + MB = 2 MI.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. AB + BC = ؟

   أ) CAب) ACج) BA
   الجواب

   ب) AC — علاقة شال.

2. إذا كان v = −2u فإن u و v…

   أ) مستقيميتان ولهما نفس المنحىب) مستقيميتان ومنحياهما متعاكسانج) غير مستقيميتين
   الجواب

   ب) مستقيميتان ومنحياهما متعاكسان — k = −2 < 0.

3. I منتصف [AB] ⇔ …

   أ) IA + IB = 0ب) IA = IB (متجهيًا)ج) AI = 2AB
   الجواب

   أ) IA + IB = 0 — المتجهتان IA و IB متعاكستان.

4. AB = DC تعني أن ABCD…

   أ) شبه منحرفب) متوازي أضلاعج) معين
   الجواب

   ب) متوازي أضلاع — تساوي متجهتين.