3. L’ordre dans ℝ

∑Résumé du cours

Ordre et opérations

• a ≤ b ⇔ a − b ≤ 0.
• Si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c pour tout réel c.
• Si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc ; si c < 0, alors ac ≥ bc (on change le sens).
• Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d (on peut additionner des inégalités de même sens, jamais les soustraire directement).
• Pour a, b > 0 : a ≤ b ⇔ a² ≤ b² ⇔ √a ≤ √b ⇔ 1/a ≥ 1/b.

Intervalles

[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} ; ]a, b[ = {x : a < x < b} ; [a, +∞[ = {x : x ≥ a} ; ]−∞, b[ = {x : x < b}.

Valeur absolue

|x| = x si x ≥ 0, et |x| = −x si x < 0. |x − a| est la distance entre x et a.

• |x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r ; |x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r, a + r].
• |xy| = |x| × |y| ; |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire).

Encadrement et approximation

Si a ≤ x ≤ b, alors b − a est l’amplitude de l’encadrement ; a est une approximation de x par défaut et b par excès, à la précision b − a.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. Si a < b et c < 0, alors…

   a) ac < bcb) ac > bcc) on ne peut rien dire
   Réponse

   b) ac > bc — Multiplier par un négatif change le sens.

2. |x| < 2 ⇔ x ∈ …

   a) ]−2 ; 2[b) [−2 ; 2]c) ]−∞ ; 2[
   Réponse

   a) ]−2 ; 2[ — Inégalité stricte → bornes exclues.

3. Si 2 ≤ x ≤ 4, alors 1/x est dans…

   a) [2 ; 4]b) [1/4 ; 1/2]c) [1/2 ; 1/4]
   Réponse

   b) [1/4 ; 1/2] — Pour des réels positifs, l’inverse change le sens.

4. |−7| = ?

   a) −7b) 7c) 0
   Réponse

   b) 7 — La valeur absolue est toujours positive.

∑ملخص الدرس

الترتيب والعمليات

• a ≤ b ⇔ a − b ≤ 0.
• إذا كان a ≤ b فإن a + c ≤ b + c لكل عدد حقيقي c.
• إذا كان a ≤ b و c > 0 فإن ac ≤ bc؛ وإذا كان c < 0 فإن ac ≥ bc (نغير الاتجاه).
• إذا كان a ≤ b و c ≤ d فإن a + c ≤ b + d (يمكن جمع متفاوتتين لهما نفس الاتجاه، ولا يجوز طرحهما مباشرة).
• من أجل a, b > 0: a ≤ b ⇔ a² ≤ b² ⇔ √a ≤ √b ⇔ 1/a ≥ 1/b.

المجالات

[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b} ؛ ]a, b[ = {x : a < x < b} ؛ [a, +∞[ = {x : x ≥ a} ؛ ]−∞, b[ = {x : x < b}.

القيمة المطلقة

|x| = x إذا كان x ≥ 0، و |x| = −x إذا كان x < 0. |x − a| هي المسافة بين x و a.

• |x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r ؛ |x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r, a + r].
• |xy| = |x| × |y| ؛ |x + y| ≤ |x| + |y| (المتفاوتة المثلثية).

التأطير والتقريب

إذا كان a ≤ x ≤ b فإن b − a هو سعة التأطير؛ و a قيمة مقربة لـ x بنقصان و b بزيادة، بالدقة b − a.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. إذا كان a < b و c < 0 فإن…

   أ) ac < bcب) ac > bcج) لا يمكن الاستنتاج
   الجواب

   ب) ac > bc — الضرب في عدد سالب يغير الاتجاه.

2. |x| < 2 ⇔ x ∈ …

   أ) ]−2 ; 2[ب) [−2 ; 2]ج) ]−∞ ; 2[
   الجواب

   أ) ]−2 ; 2[ — متفاوتة قطعية ← الحدان مستثنيان.

3. إذا كان 2 ≤ x ≤ 4 فإن 1/x ينتمي إلى…

   أ) [2 ; 4]ب) [1/4 ; 1/2]ج) [1/2 ; 1/4]
   الجواب

   ب) [1/4 ; 1/2] — بالنسبة للأعداد الموجبة، المقلوب يغير الاتجاه.

4. |−7| = ؟

   أ) −7ب) 7ج) 0
   الجواب

   ب) 7 — القيمة المطلقة موجبة دائمًا.