11. Trigonométrie II : équations et inéquations
Résoudre cos x = a, sin x = a, tan x = a et des inéquations simples à l’aide du cercle.
∑Résumé du cours
Équations fondamentales (k ∈ ℤ)
- cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ
- sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ
- tan x = tan a ⇔ x = a + kπ (avec x ≠ π/2 + kπ)
Pour résoudre cos x = c : si |c| > 1, pas de solution ; sinon on cherche un angle a connu tel que cos a = c.
Résolution dans un intervalle
On écrit les solutions générales, puis on garde les valeurs de k qui donnent des solutions dans l’intervalle demandé.
Inéquations
On place sur le cercle trigonométrique les points solutions de l’équation, puis on lit l’arc où l’inégalité est vérifiée (cos = abscisse, sin = ordonnée).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Résoudre cos x = 1/2 dans ℝ, puis dans [0 ; 2π[.
Voir la correction
Dans [0 ; 2π[ : S = {π/3 ; 5π/3}.
Exemple 2
Résoudre sin x = −√2/2 dans ]−π ; π].
Voir la correction
Dans ]−π ; π] : −π/4 et 5π/4 − 2π = −3π/4. S = {−3π/4 ; −π/4}.
Exemple 3
Résoudre cos x ≥ 1/2 dans [−π ; π].
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-
L’équation cos x = 2 a…
Réponse
c) aucune solution — −1 ≤ cos x ≤ 1. -
sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = …
Réponse
b) π − a + 2kπ — Angles supplémentaires. -
tan x = 1 ⇔ x = …
Réponse
a) π/4 + kπ — tan a pour période π.
حل cos x = a و sin x = a و tan x = a ومتراجحات بسيطة بالاستعانة بالدائرة.
∑ملخص الدرس
المعادلات الأساسية (k ∈ ℤ)
- cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ أو x = −a + 2kπ
- sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ أو x = π − a + 2kπ
- tan x = tan a ⇔ x = a + kπ (مع x ≠ π/2 + kπ)
لحل cos x = c: إذا كان |c| > 1 فلا حل؛ وإلا نبحث عن زاوية معروفة a بحيث cos a = c.
الحل في مجال
نكتب الحلول العامة، ثم نحتفظ بقيم k التي تعطي حلولًا في المجال المطلوب.
المتراجحات
نمثل على الدائرة المثلثية نقط حلول المعادلة، ثم نقرأ القوس الذي تتحقق فيه المتفاوتة (cos = الأفصول، sin = الأرتوب).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حل cos x = 1/2 في ℝ ثم في [0 ; 2π[.
عرض الحل
في [0 ; 2π[: S = {π/3 ; 5π/3}.
مثال 2
حل sin x = −√2/2 في ]−π ; π].
عرض الحل
في ]−π ; π]: −π/4 و 5π/4 − 2π = −3π/4. S = {−3π/4 ; −π/4}.
مثال 3
حل cos x ≥ 1/2 في [−π ; π].
عرض الحل
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المعادلة cos x = 2 لها…
الجواب
ج) لا حل — −1 ≤ cos x ≤ 1. -
sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ أو x = …
الجواب
ب) π − a + 2kπ — زاويتان متكاملتان. -
tan x = 1 ⇔ x = …
الجواب
أ) π/4 + kπ — دور tan هو π.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.