2. Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ

∑Résumé du cours

Les ensembles

• ℕ : entiers naturels (0, 1, 2…) — ℤ : entiers relatifs (…, −2, −1, 0, 1…).
• 𝔻 : nombres décimaux, de la forme a / 10ⁿ avec a ∈ ℤ, n ∈ ℕ (ex. 1,75 = 175/100).
• ℚ : nombres rationnels, de la forme p / q avec p ∈ ℤ, q ∈ ℤ*.
• ℝ : nombres réels. Un réel non rationnel est irrationnel (ex. √2, π).

Inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Puissances (a, b ≠ 0 ; n, m ∈ ℤ)

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ ; (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ ; aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ ; a⁰ = 1.

Racines carrées (a, b ≥ 0)

√(ab) = √a × √b ; √(a/b) = √a / √b (b > 0) ; √(x²) = |x| pour tout réel x. Attention : √(a + b) ≠ √a + √b en général.

Identités remarquables

(a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a − b)(a + b) = a² − b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ; a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ; a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. 7/4 est un nombre…

   a) décimalb) rationnel non décimalc) irrationnel
   Réponse

   a) décimal — 7/4 = 1,75 = 175/100.

2. (2³)² = ?

   a) 2⁵ = 32b) 2⁶ = 64c) 2⁹ = 512
   Réponse

   b) 2⁶ = 64 — (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ.

3. √((−4)²) = ?

   a) −4b) 4c) n’existe pas
   Réponse

   b) 4 — √(x²) = |x|.

4. (x − 3)(x + 3) = ?

   a) x² − 9b) x² + 9c) x² − 6x + 9
   Réponse

   a) x² − 9 — (a − b)(a + b) = a² − b².

∑ملخص الدرس

المجموعات

• ℕ: الأعداد الصحيحة الطبيعية (0، 1، 2…) — ℤ: الأعداد الصحيحة النسبية (…، −2، −1، 0، 1…).
• 𝔻: الأعداد العشرية، وتكتب على شكل a / 10ⁿ مع a ∈ ℤ و n ∈ ℕ (مثال: 1,75 = 175/100).
• ℚ: الأعداد الجذرية، وتكتب على شكل p / q مع p ∈ ℤ و q ∈ ℤ*.
• ℝ: الأعداد الحقيقية. العدد الحقيقي غير الجذري عدد لا جذري (مثال: √2، π).

الاحتواءات: ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

القوى (a, b ≠ 0 ؛ n, m ∈ ℤ)

aⁿ × aᵐ = aⁿ⁺ᵐ ؛ (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ ؛ aⁿ / aᵐ = aⁿ⁻ᵐ ؛ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ ؛ a⁻ⁿ = 1/aⁿ ؛ a⁰ = 1.

الجذور المربعة (a, b ≥ 0)

√(ab) = √a × √b ؛ √(a/b) = √a / √b (b > 0) ؛ √(x²) = |x| لكل عدد حقيقي x. انتبه: √(a + b) ≠ √a + √b عمومًا.

المتطابقات الهامة

(a + b)² = a² + 2ab + b² ؛ (a − b)² = a² − 2ab + b² ؛ (a − b)(a + b) = a² − b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ؛ a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) ؛ a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. 7/4 عدد…

   أ) عشريب) جذري غير عشريج) لا جذري
   الجواب

   أ) عشري — 7/4 = 1,75 = 175/100.

2. (2³)² = ؟

   أ) 2⁵ = 32ب) 2⁶ = 64ج) 2⁹ = 512
   الجواب

   ب) 2⁶ = 64 — (aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ.

3. √((−4)²) = ؟

   أ) −4ب) 4ج) غير موجود
   الجواب

   ب) 4 — √(x²) = |x|.

4. (x − 3)(x + 3) = ؟

   أ) x² − 9ب) x² + 9ج) x² − 6x + 9
   الجواب

   أ) x² − 9 — (a − b)(a + b) = a² − b².