12. Fonctions numériques : généralités

∑Résumé du cours

Domaine de définition

D_f est l’ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe. Règles : un dénominateur doit être ≠ 0 ; une expression sous une racine carrée doit être ≥ 0.

Parité (D_f symétrique par rapport à 0)

• f est paire si f(−x) = f(x) : courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• f est impaire si f(−x) = −f(x) : courbe symétrique par rapport à l’origine O.

Variations

f est croissante sur I si pour tous a < b dans I, f(a) ≤ f(b) ; décroissante si f(a) ≥ f(b).

Taux de variation : T = (f(b) − f(a))/(b − a). f est croissante sur I ⇔ T ≥ 0 pour tous a ≠ b de I.

Extremums

f(a) est un maximum de f sur I si f(x) ≤ f(a) pour tout x ∈ I ; un minimum si f(x) ≥ f(a).

Comparaison de fonctions

f ≤ g sur I signifie f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ I : la courbe de f est en dessous de celle de g.

✎Exemples corrigés

?Teste-toi

Clique sur la bonne réponse.

1. Le domaine de f(x) = 1/x est…

   a) ℝb) ℝ*c) [0 ; +∞[
   Réponse

   b) ℝ* — x ≠ 0.

2. f(x) = x² est…

   a) paireb) impairec) ni l’une ni l’autre
   Réponse

   a) paire — (−x)² = x².

3. La courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport…

   a) à l’axe des ordonnéesb) à l’originec) à l’axe des abscisses
   Réponse

   b) à l’origine — f(−x) = −f(x).

∑ملخص الدرس

مجموعة التعريف

D_f هي مجموعة الأعداد الحقيقية x التي يكون من أجلها f(x) موجودًا. القواعد: المقام يجب أن يكون ≠ 0؛ والتعبير تحت الجذر المربع يجب أن يكون ≥ 0.

الزوجية (D_f متماثلة بالنسبة لـ 0)

• f زوجية إذا كان f(−x) = f(x): المنحنى متماثل بالنسبة لمحور الأراتيب.
• f فردية إذا كان f(−x) = −f(x): المنحنى متماثل بالنسبة للأصل O.

التغيرات

f تزايدية على I إذا كان لكل a < b من I: f(a) ≤ f(b)؛ وتناقصية إذا كان f(a) ≥ f(b).

معدل التغير: T = (f(b) − f(a))/(b − a). f تزايدية على I ⇔ T ≥ 0 لكل a ≠ b من I.

القيم القصوى

f(a) قيمة قصوى لـ f على I إذا كان f(x) ≤ f(a) لكل x ∈ I؛ وقيمة دنيا إذا كان f(x) ≥ f(a).

مقارنة دالتين

f ≤ g على I تعني f(x) ≤ g(x) لكل x ∈ I: منحنى f يوجد تحت منحنى g.

✎أمثلة محلولة

?اختبر نفسك

اضغط على الجواب الصحيح.

1. مجموعة تعريف f(x) = 1/x هي…

   أ) ℝب) ℝ*ج) [0 ; +∞[
   الجواب

   ب) ℝ* — x ≠ 0.

2. f(x) = x² دالة…

   أ) زوجيةب) فرديةج) لا زوجية ولا فردية
   الجواب

   أ) زوجية — (−x)² = x².

3. منحنى دالة فردية متماثل بالنسبة…

   أ) لمحور الأراتيبب) للأصلج) لمحور الأفاصيل
   الجواب

   ب) للأصل — f(−x) = −f(x).