4. Fonctions logarithmes et exponentielles
ln, exp, loga, ax, croissances comparées et fonctions puissances réelles.
∑Résumé du cours
ln
Primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ nulle en 1 ; ln(ab) = ln a + ln b ; ln(aʳ) = r ln a ; lim (ln x)/x = 0 ; lim x ln x = 0 (en 0⁺) ; lim ln(1 + x)/x = 1 (en 0).
exp
Réciproque de ln ; ea+b = eᵃeᵇ ; (eᵘ)’ = u’eᵘ ; lim eˣ/xⁿ = +∞ ; lim xⁿeˣ = 0 (en −∞) ; lim (eˣ − 1)/x = 1.
Base a
loga x = ln x / ln a ; aˣ = ex ln a ; (aˣ)’ = aˣ ln a. Fonctions puissances xα = eα ln x (x > 0, α réel), dérivée αxα−1.
Inégalités classiques
ln x ≤ x − 1 ; eˣ ≥ 1 + x (convexité).
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Calculer limx→+∞ (1 + 1/x)ˣ.
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Exemple 2
Résoudre 2ˣ = 3.
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-
(2ˣ)’ = ?
Réponse
b) 2ˣ ln 2 — aˣ = ex ln a. -
Pour tout x, eˣ ≥ …
Réponse
b) 1 + x — Tangente en 0. -
log₁₀ 1000 = ?
Réponse
a) 3 — 10³.
ln، exp، loga، ax، التزايد المقارن ودوال القوى الحقيقية.
∑ملخص الدرس
ln
الدالة الأصلية لـ 1/x على ]0 ; +∞[ التي تنعدم في 1 ؛ ln(ab) = ln a + ln b ؛ ln(aʳ) = r ln a ؛ lim (ln x)/x = 0 ؛ lim x ln x = 0 (في 0⁺) ؛ lim ln(1 + x)/x = 1 (في 0).
exp
الدالة العكسية لـ ln ؛ ea+b = eᵃeᵇ ؛ (eᵘ)’ = u’eᵘ ؛ lim eˣ/xⁿ = +∞ ؛ lim xⁿeˣ = 0 (في −∞) ؛ lim (eˣ − 1)/x = 1.
الأساس a
loga x = ln x / ln a ؛ aˣ = ex ln a ؛ (aˣ)’ = aˣ ln a. دوال القوى xα = eα ln x (x > 0، α حقيقي)، مشتقتها αxα−1.
متفاوتات مرجعية
ln x ≤ x − 1 ؛ eˣ ≥ 1 + x (التقعر).
✎أمثلة محلولة
مثال 1
احسب limx→+∞ (1 + 1/x)ˣ.
عرض الحل
مثال 2
حل المعادلة 2ˣ = 3.
عرض الحل
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-
(2ˣ)’ = ؟
الجواب
ب) 2ˣ ln 2 — aˣ = ex ln a. -
لكل x، eˣ ≥ …
الجواب
ب) 1 + x — المماس في 0. -
log₁₀ 1000 = ؟
الجواب
أ) 3 — 10³.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.