9. Trigonométrie I : cercle trigonométrique
Le radian, le cercle trigonométrique, cos, sin, tan et les angles associés.
∑Résumé du cours
Le radian
π rad = 180°. Pour convertir : x (rad) = x (°) × π / 180.
Cercle trigonométrique
Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre). À tout réel x correspond un point M ; les réels x + 2kπ (k ∈ ℤ) donnent le même point.
Cosinus, sinus, tangente
M(cos x ; sin x). Pour tout x : −1 ≤ cos x ≤ 1, −1 ≤ sin x ≤ 1 et cos²x + sin²x = 1.
tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0) et 1 + tan²x = 1 / cos²x.
Valeurs remarquables
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
Angles associés
- cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x
- cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x
- cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x
- cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π/2 − x) = cos x
✎Exemples corrigés
Exemple 1
Convertir 150° en radians.
Voir la correction
Exemple 2
Sachant sin x = 3/5 et x ∈ [π/2 ; π], calculer cos x et tan x.
Voir la correction
tan x = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
Exemple 3
Calculer cos(5π/6) et sin(7π/6).
Voir la correction
sin(7π/6) = sin(π + π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
?Teste-toi
Clique sur la bonne réponse.
-
π/3 rad = ?
Réponse
b) 60° — 180/3 = 60. -
cos²x + sin²x = ?
Réponse
b) 1 — Relation fondamentale. -
sin(π − x) = ?
Réponse
a) sin x — Angles supplémentaires. -
tan(π/4) = ?
Réponse
b) 1 — cos = sin = √2/2.
الراديان، الدائرة المثلثية، cos و sin و tan والزوايا المترابطة.
∑ملخص الدرس
الراديان
π rad = 180°. للتحويل: x (rad) = x (°) × π / 180.
الدائرة المثلثية
دائرة مركزها O وشعاعها 1، موجهة في المنحى المباشر (عكس عقارب الساعة). يوافق كل عدد حقيقي x نقطة M؛ والأعداد x + 2kπ (k ∈ ℤ) توافق نفس النقطة.
جيب التمام والجيب والظل
M(cos x ; sin x). لكل x: −1 ≤ cos x ≤ 1 و −1 ≤ sin x ≤ 1 و cos²x + sin²x = 1.
tan x = sin x / cos x (cos x ≠ 0) و 1 + tan²x = 1 / cos²x.
قيم اعتيادية
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cos x | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| sin x | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| tan x | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — |
الزوايا المترابطة
- cos(−x) = cos x ؛ sin(−x) = −sin x
- cos(π − x) = −cos x ؛ sin(π − x) = sin x
- cos(π + x) = −cos x ؛ sin(π + x) = −sin x
- cos(π/2 − x) = sin x ؛ sin(π/2 − x) = cos x
✎أمثلة محلولة
مثال 1
حوّل 150° إلى الراديان.
عرض الحل
مثال 2
علمًا أن sin x = 3/5 و x ∈ [π/2 ; π]، احسب cos x و tan x.
عرض الحل
tan x = (3/5)/(−4/5) = −3/4.
مثال 3
احسب cos(5π/6) و sin(7π/6).
عرض الحل
sin(7π/6) = sin(π + π/6) = −sin(π/6) = −1/2.
?اختبر نفسك
اضغط على الجواب الصحيح.
-
π/3 rad = ؟
الجواب
ب) 60° — 180/3 = 60. -
cos²x + sin²x = ؟
الجواب
ب) 1 — العلاقة الأساسية. -
sin(π − x) = ؟
الجواب
أ) sin x — زاويتان متكاملتان. -
tan(π/4) = ؟
الجواب
ب) 1 — cos = sin = √2/2.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.