7. La projection dans le plan
Projeter un point sur une droite parallèlement à une autre, et utiliser la conservation des rapports.
∑Résumé du cours
Définition
Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes. Le projeté de M sur (D) parallèlement à (Δ) est le point M′ de (D) tel que (MM′) // (Δ). Si M ∈ (D), alors M′ = M.
Si (Δ) ⊥ (D), on parle de projection orthogonale.
Propriétés
- La projection conserve le milieu : si I est le milieu de [AB], son projeté I′ est le milieu de [A′B′].
- Elle conserve le coefficient de colinéarité : si AC = k·AB, alors A′C′ = k·A′B′.
- Elle ne conserve pas les longueurs en général.
Ces propriétés sont une forme vectorielle du théorème de Thalès.
✎Exemples corrigés
Exemple 1
ABC est un triangle, I le milieu de [BC]. On projette sur (AB) parallèlement à (AC). Quel est le projeté de I ?
Voir la correction
La projection conserve le milieu : le projeté de I est le milieu de [AB].
Exemple 2
A, B, C sont alignés avec AC = −2 AB. On projette sur une droite (D) : quelle relation entre A′, B′, C′ ?
Voir la correction
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La projection conserve…
Réponse
b) le milieu — Seuls milieu et rapports de colinéarité sont conservés. -
Si M ∈ (D), son projeté sur (D) est…
Réponse
a) M lui-même — Un point de (D) est son propre projeté. -
Si AC = 3AB, alors A′C′ = …
Réponse
b) 3A′B′ — Conservation du coefficient.
إسقاط نقطة على مستقيم بتواز مع مستقيم آخر، واستعمال الحفاظ على النسب.
∑ملخص الدرس
تعريف
ليكن (D) و (Δ) مستقيمين متقاطعين. مسقط M على (D) بتواز مع (Δ) هو النقطة M′ من (D) بحيث (MM′) // (Δ). إذا كانت M ∈ (D) فإن M′ = M.
إذا كان (Δ) ⊥ (D) نتحدث عن الإسقاط العمودي.
خاصيات
- الإسقاط يحافظ على المنتصف: إذا كانت I منتصف [AB] فإن مسقطها I′ منتصف [A′B′].
- يحافظ على معامل الاستقامية: إذا كان AC = k·AB فإن A′C′ = k·A′B′.
- لا يحافظ على الأطوال عمومًا.
هذه الخاصيات صيغة متجهية لـمبرهنة طاليس.
✎أمثلة محلولة
مثال 1
ABC مثلث و I منتصف [BC]. نسقط على (AB) بتواز مع (AC). ما مسقط I؟
عرض الحل
الإسقاط يحافظ على المنتصف: مسقط I هو منتصف [AB].
مثال 2
A و B و C مستقيمية مع AC = −2 AB. نسقط على مستقيم (D): ما العلاقة بين A′ و B′ و C′؟
عرض الحل
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الإسقاط يحافظ على…
الجواب
ب) المنتصف — يحافظ فقط على المنتصف ونسب الاستقامية. -
إذا كانت M ∈ (D) فمسقطها على (D) هو…
الجواب
أ) M نفسها — نقطة من (D) هي مسقط نفسها. -
إذا كان AC = 3AB فإن A′C′ = …
الجواب
ب) 3A′B′ — الحفاظ على المعامل.
Résumé rédigé par Nqraw selon le programme officiel marocain.